Матричное представление операторов
Вернер Гейзенберг пришел к выводу, что в квантовой механике очень важен порядок действий: какой оператор первый, какой второй. Матричная аглебра как раз обладает таким свойством. Интересно, что он снова придумал матричную алгебру: физикам не читали матрицу, и он не имел представления об этом.
Каждому оператору физической величины в выбранном базисе пространства функций отвечает квадратная таблица чисел, называемая матричным представлением.
Элементы матричного представления рассчитываются по следующим формулам:
$$ \widehat{A} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … &a_{1j} \newline a_{21} & a_{22} & … & a_{2j} \newline .. & … & … & … \newline a_{j1} & a_{j2} & … & a_{ij} \newline \end{vmatrix}, $$
$$ a_{ij}=\int\limits_{\infin} \varphi_i^*\widehat{A} \varphi_j d\tau, \text{где } \varphi_i \text{ — базис фунцкии} $$
Подход в том, что операторы могут быть разные, но все они выражаются просто таблицей чисел. При этом все действия унифицируются (образуют единую систему).
Вспомним основные действия над матрицами (подробнее можно прочитать в литературе, или на сайтах mathprofi.ru, simumath.net):
Умножение матрицы на число
$$ k\times\widehat{A} = k\times\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … &a_{1j} \newline a_{21} & a_{22} & … & a_{2j} \newline .. & … & … & … \newline a_{j1} & a_{j2} & … & a_{ij} \newline \end{pmatrix} = \newline =\begin{pmatrix} k\cdot a_{11} & k\cdot a_{12} & … & k\cdot a_{1j} \newline k\cdot a_{21} & k\cdot a_{22} & … & k\cdot a_{2j} \newline .. & … & … & … \newline k\cdot a_{j1} & k\cdot a_{j2} & … & k\cdot a_{ij} \newline \end{pmatrix} $$
Пример
$$ 4\times\begin{pmatrix} 5 & -11 \newline -1 & 2 \newline \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot5 & 4\cdot-11 \newline 4\cdot-1 & 4\cdot2 \newline \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & -44 \newline -4 & 8 \newline \end{pmatrix} $$
Сумма и разность матриц
Матрицы можно складывать и вычитать, если они одинаковы по размеру. $$ \widehat{A} + \widehat{B} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & … &a_{1j} \newline \newline a_{21} & a_{22} & … & a_{2j} \newline \newline .. & … & … & … \newline \newline a_{j1} & a_{j2} & … & a_{ij} \newline \newline \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & … & b_{1j} \newline b_{21} & b_{22} & … & b_{2j} \newline .. & … & … & … \newline b_{j1} & b_{j2} & … & b_{ij} \newline \end{pmatrix} = \newline = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{11} + b_{12} & … & a_{1j} + b_{1j} \newline a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & … & a_{2j} + b_{2j} \newline .. & … & … & … \newline a_{j1} + b_{j1} & a_{j2} + b_{j2} & … & a_{ij} + b_{ij} \newline \end{pmatrix} $$
Пример 1: сложение двух матриц разных размеров
Такие матрицы нельзя складывать. Матрицу “два на два” можно складывать только с матрицей “два на два”.
Пример 2: cложение двух матриц одинаковых размеров:
Умножение матриц
Простой случай:
Пример:
Случай посложнее:
Пример:
Обратите внимание, что порядок умножения очень важен!
Матрицы специального вида:
Рассмотрим две диагональные матрицы M и L:
Каким должен быть базис, чтобы оператор имел вид диагональной матрицы?
Базис должен состоять из собственных функций этого оператора.
Собственные функции оператора являются нормированными и ортогональными.
Правила вычисления определителя матрицы
Существует множество способов вычисления определителя матрицы, о которых вы можете также прочитать на сайте mathprofi.ru. Мы рассмотрим один из них:
