Матричное представление операторов
Вернер Гейзенберг пришел к выводу, что в квантовой механике очень важен порядок действий: какой оператор первый, какой второй. Матричная аглебра как раз обладает таким свойством. Интересно, что он снова придумал матричную алгебру: физикам не читали матрицу, и он не имел представления об этом.
Каждому оператору физической величины в выбранном базисе пространства функций отвечает квадратная таблица чисел, называемая матричным представлением.
Элементы матричного представления рассчитываются по следующим формулам:
A ^ = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 j a 21 a 22 . . . a 2 j . . . . . . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a i j ∣ , \widehat{A} = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1j}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{ij}\\
\end{vmatrix}, A = a 11 a 21 .. a j 1 a 12 a 22 ... a j 2 ... ... ... ... a 1 j a 2 j ... a ij , a i j = ∫ ∞ φ i ∗ A ^ φ j d τ , где φ i — базис фунцкии
a_{ij}=\int\limits_{\infin} \varphi_i^*\widehat{A} \varphi_j d\tau, \text{где } \varphi_i \text{ — базис фунцкии} a ij = ∞ ∫ φ i ∗ A φ j d τ , где φ i — базис фунцкии Подход в том, что операторы могут быть разные, но все они выражаются просто таблицей чисел. При этом все действия унифицируются (образуют единую систему).
Вспомним основные действия над матрицами (подробнее можно прочитать в литературе, или на сайтах mathprofi.ru , simumath.net ):
Умножение матрицы на число
k × A ^ = k × ( a 11 a 12 . . . a 1 j a 21 a 22 . . . a 2 j . . . . . . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a i j ) = = ( k ⋅ a 11 k ⋅ a 12 . . . k ⋅ a 1 j k ⋅ a 21 k ⋅ a 22 . . . k ⋅ a 2 j . . . . . . . . . . . k ⋅ a j 1 k ⋅ a j 2 . . . k ⋅ a i j ) k\times\widehat{A} = k\times\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1j}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{ij}\\
\end{pmatrix} = \\
=\begin{pmatrix}
k\cdot a_{11} & k\cdot a_{12} & ... & k\cdot a_{1j}\\
k\cdot a_{21} & k\cdot a_{22} & ... & k\cdot a_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
k\cdot a_{j1} & k\cdot a_{j2} & ... & k\cdot a_{ij}\\
\end{pmatrix} k × A = k × a 11 a 21 .. a j 1 a 12 a 22 ... a j 2 ... ... ... ... a 1 j a 2 j ... a ij = = k ⋅ a 11 k ⋅ a 21 .. k ⋅ a j 1 k ⋅ a 12 k ⋅ a 22 ... k ⋅ a j 2 ... ... ... ... k ⋅ a 1 j k ⋅ a 2 j ... k ⋅ a ij Пример
4 × ( 5 − 11 − 1 2 ) = ( 4 ⋅ 5 4 ⋅ − 11 4 ⋅ − 1 4 ⋅ 2 ) = ( 20 − 44 − 4 8 ) 4\times\begin{pmatrix}
5 & -11\\
-1 & 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4\cdot5 & 4\cdot-11\\
4\cdot-1 & 4\cdot2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
20 & -44 \\
-4 & 8 \\
\end{pmatrix} 4 × ( 5 − 1 − 11 2 ) = ( 4 ⋅ 5 4 ⋅ − 1 4 ⋅ − 11 4 ⋅ 2 ) = ( 20 − 4 − 44 8 ) Сумма и разность матриц
Матрицы можно складыв ать и вычитать, если они одинаковы по размеру.
A ^ + B ^ = ( a 11 a 12 . . . a 1 j a 21 a 22 . . . a 2 j . . . . . . . . . . . a j 1 a j 2 . . . a i j ) + ( b 11 b 12 . . . b 1 j b 21 b 22 . . . b 2 j . . . . . . . . . . . b j 1 b j 2 . . . b i j ) = = ( a 11 + b 11 a 11 + b 12 . . . a 1 j + b 1 j a 21 + b 21 a 22 + b 22 . . . a 2 j + b 2 j . . . . . . . . . . . a j 1 + b j 1 a j 2 + b j 2 . . . a i j + b i j ) \widehat{A} + \widehat{B} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & ... &a_{1j}\\
a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
a_{j1} & a_{j2} & ... & a_{ij}\\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & ... & b_{1j}\\
b_{21} & b_{22} & ... & b_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
b_{j1} & b_{j2} & ... & b_{ij}\\
\end{pmatrix} = \\
= \begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{11} + b_{12} & ... & a_{1j} + b_{1j}\\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & ... & a_{2j} + b_{2j}\\
.. & ... & ... & ...\\
a_{j1} + b_{j1} & a_{j2} + b_{j2} & ... & a_{ij} + b_{ij}\\
\end{pmatrix} A + B = a 11 a 21 .. a j 1 a 12 a 22 ... a j 2 ... ... ... ... a 1 j a 2 j ... a ij + b 11 b 21 .. b j 1 b 12 b 22 ... b j 2 ... ... ... ... b 1 j b 2 j ... b ij = = a 11 + b 11 a 21 + b 21 .. a j 1 + b j 1 a 11 + b 12 a 22 + b 22 ... a j 2 + b j 2 ... ... ... ... a 1 j + b 1 j a 2 j + b 2 j ... a ij + b ij Пример 1: сложение двух матриц разных размеров
Такие матрицы нельзя складывать. Матрицу "два на два" можно складывать только с матрицей "два на два".
Пример 2: cложение двух матриц одинаковых размеров:
Умножение матриц
Простой случай:
Пример:
Случай посложнее:
Пример:
Обратите внимание, что порядок умножения очень важен!
Матрицы специального вида:
Рассмотрим две диагональные матрицы M и L:
Каким должен быть базис, чтобы оператор имел вид диагональной матрицы?
Базис должен состоять из собственных функций этого оператора.
Собственные функции оператора являются нормированными и ортогональными.
Правила вычисления определителя матрицы
Существует множество способов вычисления определителя матрицы, о которых вы можете также прочитать на сайте mathprofi.ru . Мы рассмотрим один из них:
