Операторные уравнения
Пример опреаторного уравнения:
где — оператор, — функция.
Функция , которая удовлетворяет операторному уравнению , называется собственной функцией оператора. Число (не переменная) называется собственным значением оператора.
где — собственное значение, — собственная функция оператора.
Например, рассмотрим оператор дифференцирования:
-
Вывод: функция является собственной функцией оператора, собственное значение .
-
Вывод: функция не является собственной, так как не соответствует операторному уравнению ( содержит в себе переменную).
Основная задача квантовой химии сводится к нахождению собственных функций и собственных значений оператора полной энергии для молекул.
Является ли собственная функция единственной для оператора, или у него может быть несколько собственных функций?
Рассмотрим оператор дифференцирования:
Собственное значение — .
Для оператора может существовать различное множество собственных функций. Причем собственные функции самосопряженного оператора ортогональны друг другу и образуют базис пространства функций.
Пусть есть разные операторы. Будут ли их собственные функции разными или они могут быть одинаковыми?
Если операторы коммутируют друг с другом , то они имеют общую систему собственных функций. Собственные функции коммутирующих операторов одни и те же.
Всегда ли разным собственным функциям отвечают разные соб ственные значения?
Рассмотрим оператор дифференцирования:
Собственные волновые функции для которых собственное значения одинаковые называются вырожденными.
Физический смысл собственного значения
Запишем операторное уравнение:
Умножим левую и правую часть равнения на комплексно-сопряженную функцию :
Проинтегрируем:
Собственное значение есть значение физической величины (из 5 постулата). Т.е. для оператора полной энергии системы (гамильтониана ) — собственное значение есть значение физической величины полной энергии системы.
Следствия:
-
константа в уравнении Шредингера является полной энергией системы.
-
для любого состояния системы можно найти его энергию.