Основные операторы квантовой механики
Оператор координаты
Оператор координаты — просто координ ата. Его действие на любую функцию заключается в умножении ее на x.
Свойства:
-
линейность оператора:
-
самосопряженность:
Оператор импульса
Оператор импульса определяется через операторы его проекций. Операторы проекций импульса и координат подчиняются определённым правилам перестановки, которые очень облегчают расчеты с ними.
Свойства:
-
линейность оператора:
-
самосопряженность оператора:
Проверим, коммутируют ли операторы координаты и импульса:
Операторы импульса и координаты не коммутируют.
Оператор кинетической энергии
Вывод оператора кинетической энергии:
Чтобы построить оператор, нужно записать классическое выражение для этой величины, а затем выразить через импульсы и координаты.
Свойства:
-
Линейность: +
-
Самосопряженность:
Можем предположить, что операторы импульса и кинетической энергии коммутируют, т.к. порядок дифференцирования не имеет значения.
Однако, т.к. оператор импульса и координаты не коммутируют, то оператор кинетической энергии тоже не коммутирует с оператором координаты.
Оператор потенциальной энергии
Потенциальная энергия электростатического взаимодействия:
Свойства этого оператора проверяются как для оператора координаты.
Оператор полной энергии системы
Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий.
Линейность и самосопряженность вытекает из линейности и сопряженности составляющих.
О коммутации — сложно сказать. Однако в общем случае Гамильтониан не коммутирует ни с одним оператором:
