Основные операторы квантовой механики

Оператор координаты

Оператор координаты — просто координата. Его действие на любую функцию заключается в умножении ее на x.

Свойства:

• линейность оператора:

  

• самосопряженность:

  

Оператор импульса

Оператор импульса определяется через операторы его проекций. Операторы проекций импульса и координат подчиняются определённым правилам перестановки, которые очень облегчают расчеты с ними.

Свойства:

• линейность оператора:

  

• самосопряженность оператора:

Проверим, коммутируют ли операторы координаты и импульса:

Операторы импульса и координаты не коммутируют.

Оператор кинетической энергии

Вывод оператора кинетической энергии:

Чтобы построить оператор, нужно записать классическое выражение для этой величины, а затем выразить через импульсы и координаты.

Свойства:

• Линейность: +

• Самосопряженность:

  

Можем предположить, что операторы импульса и кинетической энергии коммутируют, т.к. порядок дифференцирования не имеет значения.

Однако, т.к. оператор импульса и координаты не коммутируют, то оператор кинетической энергии тоже не коммутирует с оператором координаты.

Оператор потенциальной энергии

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия:

Свойства этого оператора проверяются как для оператора координаты.

Оператор полной энергии системы

Полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий.

Линейность и самосопряженность вытекает из линейности и сопряженности составляющих.

О коммутации — сложно сказать. Однако в общем случае Гамильтониан не коммутирует ни с одним оператором: