Постулаты квантовой механики

Постулат I

Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией $\Psi(q_1,q_2,…,q_n,t)$ от координат всех образующих частиц и времени. Она называется функцией состояния системы или ее волновой функцией.

$$ \Psi=(q_1,q_2,…,q_n,t) $$

где $q$ — обобщенная координата.

Обобщенная координата является совокупностью пространственных координат (в декартовой системе — $x$, $y$, $z$) и проекции спина частицы.

Волновая функция должна быть однозначна, конечна и непрерывна на всем пространстве.

Сама волновая функция не имеет физического смысла. $\Psi^*\Psi d\tau$ — имеет физический смысл: плотность вероятности нахождения системы в элементе объема $d\tau$.

Условие нормировки:

$$ \int\Psi^*\Psi d\tau=\int\left|\Psi\right|^2 d\tau=1, $$ где $d\tau$ — элемент объема.

Условие отображает факт того, что вероятность найти систему во всем пространстве равна единице.

Постулат II

Каждой динамической переменной (координата, импульс, энергия и т.д.) ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор. Все функциональные отношения между величинами классической механики в квантовой механике заменяются отношениями между операторами.

Оператор — это закон, по которому одной функции $f$ ставится в соответствие другая функция $g$. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией $f$, чтобы перевести ее в функцию $g$:

$$ \widehat Lf=g, $$

где $\widehat L$ — оператор.

Два оператора квантовой механики постулируются: оператор координат и оператор импульса. Остальные операторы квантовой механики выводятся из этих двух.

Оператор координаты есть просто координата, и его действие на любую функцию заключается в умножении ее на $x$.

$$ \widehat x \text{ — оператор координаты} $$

$$ \widehat xf=xf $$

Оператор импульса определяется через операторы его проекций.

$$ {\widehat P}_x \text{ — оператор импульса} $$

$$ {\widehat P}_x = -i\hbar\frac\partial{\partial x} $$

$$ {\widehat P}_y = -i\hbar\frac\partial{\partial y} $$

$$ {\widehat P}_z = -i\hbar\frac\partial{\partial z} $$

$$ \hbar=\frac h{2\pi} \text{ — постоянная Дирака} $$

Постулат III

Функция состояния должна удовлетворять решению:

$$ \widehat H\Psi=E\Psi , $$

где $\Psi$ — собственная функция оператора $H$, $E$ — собственное значение.

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарного состояния.

Постулат IV

Единственно возможными значениями, которые могут быть получены при измерении динамической переменной $L$, могут являться собственные значения $L$ операторного уравнения

$$ \widehat L\Psi_i=L\Psi_i $$

Постулат V

Среднее значение физической величины $\lambda$, имеющей квантово-механический оператор $\lambda$, в состоянии $\Psi$ определяется соотношением

$$ \overline \lambda\equiv\left\langle \lambda\right\rangle=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle $$

Обозначение $\left\langle\Psi\left|\lambda\right|\Psi\right\rangle$ введено П. Дираком.

$$ E=\int\Psi^*\lambda\Psi d\tau\equiv\left\langle\Psi\left|f\right|\Psi\right\rangle $$

Постулат VI

Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями $\Psi_1$ и $\Psi_2$, то она может находиться и в состоянии

$$ \Psi=C_1\Psi_1+C_2\Psi_2 , $$

где $C_1, C_2 = const$

$$ C_i=\int\Psi^*\Psi_i d\tau $$

Этот постулат известен под названием принципа суперпозиции. Из постулата V следует, что функция $\Psi$ описывает такое состояние, при котором система находится в состоянии $\Psi_1$ с вероятностью, равной $C_1^2$, либо в состоянии $\Psi_2$ с вероятностью $C_2^2$.

Постулат VII

Волновая функция системы частиц с полуцелым спином (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц:

$$ \psi(q_1,q_2,q_3,…,q_n,t)=-\psi(q_1,q_3,q_2,…,q_n,t) $$

Важно. При перестановке $q_2$ и $q_3$ волновая функция становится с отрицательным знаком.

Антисимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925).