Пространство волновых функций

Квантовое состояние — любое возможное состояние, в котором может находиться квантовая система. Квантовое состояние может быть описано:

• в волновой механике — волновой функцией;
• в матричной механике — вектором состояния или полным набором квантовых чисел для определённой системы.

Волновая функция — комплексная функция, используемая в квантовой механике для описания состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному).

Признаки волновой функции: конечность , однозначность, непрерывность, нормированность.

Множество всех функций, удовлетворяющих требованиям первого постулата называется пространством волновых функций, т.е. пространство функций – это конкретное множество функций. Понятие пространство несет смысл — в нем мы можем задать координаты функции (пространство структурирует объем - $x$,$y$,$z$).

$$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$ $$\vec{r} = (x, y, z) \text{ — координаты вектора}$$

Разложение функций в ряды:

• Ряд Тейлора

  $$f=a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ...,$$

  где $x$, $x^2$, $x^3$ — базис функции; $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ — координаты функции.

• Ряд Фурье

  $$f = b_0 + b_1\sin{x} + b_2\sin{2x} + ...,$$

  где $\sin(kx)$ — базис функции; $b_0$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ — координаты функции.

  Базис нужен, чтобы унифицировать действия функций. Координаты — чтобы мы рассматривали положения с одинаковой точки зрения.

  $$f = (C_1, C_2, C_3, ...) \text{ — функция имеет вид координат вектора}$$

  где $C_1, C_2, C_3$ — коэффициенты разложения (координаты функции)

  В пространстве может быть разное множество базисов, соответственно для другого базиса все координаты будут уже другие. Базис задает координаты точек и это может быть любая тройка векторов, даже если между ними не 90°.

Волновые функции называются ортогональными, если выполняется следующее равенство:

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \varphi_1^*\varphi_2d\tau = 0 ,$$

где $d\tau$ — все дифференциалы, которые формируют элемент объема — $dxdydz$.

Физический смысл: этот интеграл — вероятность перехода системы из функции $\varphi_1$ в $\varphi_2$. Эта вероятность равна нулю.

Волновые функции называются нормированными, если выполняется следующее равенство:

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi\tau = \int\limits_{-\infin}^{+\infin} |\Psi|^2 d\tau = 1$$

Физический смысл: этот интеграл — вероятность нахождения системы во всем пространстве. Эта вероятность равна единице.

Если волновые функции являются нормированными и ортогональными, то они называются ортонормированным базисом функции. Такие базисы являются наиболее удобными.

Выведем условие ортонормированности:

$$\left. \begin{array}{ccc} \int\limits_{\infin} \Psi_i^*\Psi_id\tau = 1 \\ \int\limits_{\infin} \Psi_i^*\Psi_jd\tau = 0 \end{array} \right\} \Longrightarrow \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi d\tau = \delta_{ij}, \text{где }\delta_{ij} = \begin{cases} 0, i\neq j \\ 1, i = j \\ \end{cases}$$

Условие ортонормированности:

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi d\tau = \delta_{ij}$$

Допустим, есть функция:

$$\Psi = C_1\varphi_1 + C_2\varphi_2 + C_3\varphi_3 + ... = \sum_i{C_i\varphi_i} ,$$

где $\varphi_i$ — базис функции, $Сi$ — коэффициенты разложения.

Функция подчиняется условию нормировки:

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi d\tau = \int\limits_{-\infin}^{+\infin}\sum\limits_iC_i\varphi_i^* \cdot\sum\limits_iC_i\varphi_id\tau = \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \left(C_1\varphi_1^*+C_2\varphi_2^*+...\right)\left(C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+...\right) = \\ \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \left(C_1^2\varphi_1^*\varphi_1 + C_1C_2\varphi_1^*\varphi_2 + C_2\varphi_2^*C_1\varphi_1 + C_2^2\varphi_2^*\varphi_2 + ...\right) = \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \sum\limits_i\sum\limits_j C_iC_j\varphi_i^*\varphi_j d\tau$$

При умножении вводится новый индекс $j$.

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \sum\limits_i\sum\limits_j C_iC_j\varphi_i^*\varphi_j d\tau = \underset{\substack{\\\downarrow \\\\ \text{интеграл суммы} \\\\ \text{равен сумме интегралов} }} {\sum\limits_i\sum\limits_j \int\limits_{-\infin}^{+\infin} C_iC_j\varphi_i^*\varphi_j d\tau } = \underset{\substack{\\\downarrow \\\\ \text{выносим постоянные} \\\\ \text{за знак интегрирования} }} {{\sum\limits_i\sum\limits_j C_iC_j \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \varphi_i^*\varphi_j d\tau }}$$

При этом из условия ортонормированности

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi d\tau = \delta_{ij}$$

и условии $i=j$, получим:

$${\sum\limits_i\sum\limits_j C_iC_j \int\limits_{-\infin}^{+\infin} \varphi_i^*\varphi_j d\tau } =\sum С_i^2$$

Результат нормировки функции пси по базису:

$$\int\limits_{-\infin}^{+\infin} \Psi^*\Psi d\tau = 1 \qquad\Longrightarrow \sum С_i^2 = 1 \qquad C_1^2 + C_2^2 + ... = 1, \quad|C_i|<1$$

Физический смысл: этот интеграл — вероятность нахождения системы около базисной функции.