Свойства операторов
Оператор — это закон, по которому одной функции f f f g g g f f f g g g
g = L ^ f g = \widehat{L}f g = L f Линейность
Оператор называется линейным, если выполняется следующее равенство:
L ^ ( α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1 L ^ f 1 + α 2 L ^ f 2 \widehat{L}(\alpha_1f_1 + \alpha_2f_2) = \alpha_1\widehat{L}f_1 + \alpha_2\widehat{L}f_2 L ( α 1 f 1 + α 2 f 2 ) = α 1 L f 1 + α 2 L f 2 L ^ ( f 1 + f 2 ) = L ^ f 1 + L ^ f 2 \widehat{L}(f_1 + f_2) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_2 L ( f 1 + f 2 ) = L f 1 + L f 2 L ^ ( f 1 + f 1 ) = L ^ f 1 + L ^ f 1 = 2 L ^ f 1 \widehat{L}(f_1 + f_1) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_1 = 2 \widehat{L}f_1 L ( f 1 + f 1 ) = L f 1 + L f 1 = 2 L f 1 Самосопряженность
Оператор называется самосопряженным (эрмитовым), если выполняется следующее равенство:
Действия над операторами
Сложение
L ^ = L ^ 1 + L ^ 2 \widehat{L} = \widehat{L}_1 + \widehat{L}_2 L = L 1 + L 2 L ^ f = ( L ^ 1 + L ^ 2 ) f = L ^ 1 f + L ^ 2 f \widehat{L}f = (\widehat{L}_1 + \widehat{L}_2)f = \widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f L f = ( L 1 + L 2 ) f = L 1 f + L 2 f При сложении порядок действия операторов не имеет значения :
L ^ 1 f + L ^ 2 f = L ^ 2 f + L ^ 1 f \widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f = \widehat{L}_2f + \widehat{L}_1f L 1 f + L 2 f = L 2 f + L 1 f Умножение
L ^ f = L ^ 1 ⋅ L ^ 2 \widehat{L}f = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 L f = L 1 ⋅ L 2 L ^ f = L ^ 1 ( L ^ 2 f ) = L ^ 1 g \widehat{L}f = \widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g L f = L 1 ( L 2 f ) = L 1 g При умножении порядок действия операторов имеет значение :
L ^ 1 ( L ^ 2 f ) = L ^ 1 g L ^ 2 ( L ^ 1 f ) = L ^ 2 h } ⟶ L ^ 1 g ≠ L ^ 2 h ⟹ L ^ 1 ⋅ L ^ 2 ≠ L ^ 2 ⋅ L ^ 1 \left.
\begin{array}{ccc}
\widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g \\
\widehat{L}_2({\widehat{L}_1f}) = \widehat{L}_2h
\end{array}
\right\} \longrightarrow \widehat{L}_1g \neq \widehat{L}_2h \Longrightarrow \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 \neq \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 L 1 ( L 2 f ) = L 1 g L 2 ( L 1 f ) = L 2 h } ⟶ L 1 g = L 2 h ⟹ L 1 ⋅ L 2 = L 2 ⋅ L 1 Существуют такие пары операторов, для которых перестановочный закон умножения выполняется. Такие пары операторов называются коммутирующими — операторы коммутируют друг с другом.
Коммутатор и условие коммутации
Условие коммутации:
L ^ 1 ⋅ L ^ 2 = L ^ 2 ⋅ L ^ 1 \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 = \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 L 1 ⋅ L 2 = L 2 ⋅ L 1 В случае, если операторы не коммутируют друг с другом, то для таких функций существует коммутатор.
Коммутатором называется оператор, который построен следующим образ ом:
[ L ^ 1 , L ^ 2 ] ⏟ Коммутатор = L ^ 1 ⋅ L ^ 2 − L ^ 2 ⋅ L ^ 1 \underbrace{[\widehat{L}_1,\widehat{L}_2]}_{Коммутатор} = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 - \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 Коммутатор [ L 1 , L 2 ] = L 1 ⋅ L 2 − L 2 ⋅ L 1 Для коммутирующих операторов коммутатор равен нулю.
