Свойства операторов

Оператор — это закон, по которому одной функции $f$ ставится в соответствие другая функция $g$. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией $f$, чтобы перевести ее в функцию $g$:

$$ g = \widehat{L}f $$

Линейность

Оператор называется линейным, если выполняется следующее равенство:

$$ \widehat{L}(\alpha_1f_1 + \alpha_2f_2) = \alpha_1\widehat{L}f_1 + \alpha_2\widehat{L}f_2 $$

$$ \widehat{L}(f_1 + f_2) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_2 $$

$$ \widehat{L}(f_1 + f_1) = \widehat{L}f_1 + \widehat{L}f_1 = 2 \widehat{L}f_1 $$

Самосопряженность

Оператор называется самосопряженным (эрмитовым), если выполняется следующее равенство:

Действия над операторами

Сложение

$$ \widehat{L} = \widehat{L}_1 + \widehat{L}_2 $$

$$ \widehat{L}f = (\widehat{L}_1 + \widehat{L}_2)f = \widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f $$

При сложении порядок действия операторов не имеет значения:

$$ \widehat{L}_1f + \widehat{L}_2f = \widehat{L}_2f + \widehat{L}_1f $$

Умножение

$$ \widehat{L}f = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 $$

$$ \widehat{L}f = \widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g $$

При умножении порядок действия операторов имеет значение:

$$ \begin{array}{ccc} \widehat{L}_1({\widehat{L}_2f}) = \widehat{L}_1g \newline \widehat{L}_2({\widehat{L}_1f}) = \widehat{L}_2h \end{array} \Longrightarrow \widehat{L}_1g \neq \widehat{L}_2h \Longrightarrow \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 \neq \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 $$

Существуют такие пары операторов, для которых перестановочный закон умножения выполняется. Такие пары операторов называются коммутирующими — операторы коммутируют друг с другом.

Коммутатор и условие коммутации

Условие коммутации:

$$ \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 = \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 $$

В случае, если операторы не коммутируют друг с другом, то для таких функций существует коммутатор.

Коммутатором называется оператор, который построен следующим образом:

$$ \underbrace{[\widehat{L}_1,\widehat{L}_2]} = \widehat{L}_1\cdot\widehat{L}_2 - \widehat{L}_2\cdot\widehat{L}_1 $$

Для коммутирующих операторов коммутатор равен нулю.