Свойства операторов

Оператор — это закон, по которому одной функции $f$ ставится в соответствие другая функция $g$. Оператор определяет, какое действие должно быть произведено над функцией $f$, чтобы перевести ее в функцию $g$:

Линейность

Оператор называется линейным, если выполняется следующее равенство:

Самосопряженность

Оператор называется самосопряженным (эрмитовым), если выполняется следующее равенство:

Действия над операторами

Сложение

При сложении порядок действия операторов не имеет значения:

Умножение

При умножении порядок действия операторов имеет значение:

Существуют такие пары операторов, для которых перестановочный закон умножения выполняется. Такие пары операторов называются коммутирующими — операторы коммутируют друг с другом.

Коммутатор и условие коммутации

Условие коммутации:

В случае, если операторы не коммутируют друг с другом, то для таких функций существует коммутатор.

Коммутатором называется оператор, который построен следующим образом:

Для коммутирующих операторов коммутатор равен нулю.