Линейность операторов и коммутаторы

Задачи к статьям Свойства операторов и Основные операторы квантовой механики.

Свойства линейности и самосопряженности — проверка этих свойств есть в экзамене.

Свойства линейности

Оператор линеен, если $\hat{L}\left( f_1 + f_2 \right) = \hat{L} f_1 + \hat{L} f_2$ . Проверим для $\hat{L} = x \dfrac{d}{dx}$ :

x \frac{d}{dx}\left( f_1 + f_2 \right) = x \frac{d\left( f_1 + f_2 \right)}{dx} = x \left( \frac{df_1}{dx} + \frac{df_2}{dx} \right) = \frac{x\,df_1}{dx} + \frac{x\,df_2}{dx} = \hat{L} f_1 + \hat{L} f_2

и для $\hat{L} = \dfrac{d}{dx}\left( x \dfrac{d}{dx} \right)$ :

\frac{d}{dx}\left( x \frac{d}{dx} \right)\left( f_1 + f_2 \right) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x\,df_1}{dx} + \frac{x\,df_2}{dx} \right) = \frac{d}{dx} x \frac{df_1}{dx} + \frac{d}{dx} x \frac{df_2}{dx} = \hat{L} f_1 + \hat{L} f_2

Оба оператора — линейные.

Теперь $\hat{L} = e^{d/dx}$ — сначала берем производную, а потом возводим производную в эту степень:

\exp\left( \frac{d\left( f_1 + f_2 \right)}{dx} \right) = \exp\left( \frac{df_1}{dx} \right) \exp\left( \frac{df_2}{dx} \right) = \hat{L} f_1 \cdot \hat{L} f_2

Получилось произведение, а не сумма — такой оператор не линеен.

🙏 Если вам нравится сайт, подпишитесь на наш 🔗 Телеграм-канал.

Поиск коммутатора

В билетах: поиск коммутатора. Пусть $\hat{L} = \dfrac{d^2}{dx^2}$ , $\hat{M} = \dfrac{1}{x}$ . Условие коммутации:

\hat{L}\hat{M} = \hat{M}\hat{L}, \qquad \hat{L}\hat{M} - \hat{M}\hat{L} = \left[ \hat{L}, \hat{M} \right]

Действуем на произвольную функцию $f$ сначала $\hat{M}$ , потом $\hat{L}$ :

\begin{aligned} \hat{L}\hat{M} f &= \frac{d^2\left( f \cdot x^{-1} \right)}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( x^{-1} \frac{df}{dx} - f \cdot x^{-2} \right) = \\ &= \frac{d}{dx}\left( x^{-1} \frac{df}{dx} \right) - \frac{d}{dx}\left( f x^{-2} \right) = \\ &= x^{-1} \frac{d^2 f}{dx^2} - x^{-2} \frac{df}{dx} - \left( f \cdot (-2) \cdot x^{-3} + x^{-2} \frac{df}{dx} \right) = \\ &= x^{-1} \frac{d^2 f}{dx^2} - 2x^{-2} \frac{df}{dx} + 2f x^{-3} \end{aligned}

В обратном порядке:

\hat{M}\hat{L} f = \frac{1}{x} \frac{d^2 f}{dx^2}

Вычитаем — слагаемые $x^{-1} \dfrac{d^2 f}{dx^2}$ сокращаются:

\hat{L}\hat{M} f - \hat{M}\hat{L} f = x^{-1} \frac{d^2 f}{dx^2} - 2x^{-2} \frac{df}{dx} + 2f x^{-3} - x^{-1} \frac{d^2 f}{dx^2} = 2f x^{-3} - 2x^{-2} \frac{df}{dx}

\left[ \frac{d^2}{dx^2},\ \frac{1}{x} \right] = \frac{2}{x^3} - \frac{2}{x^2} \frac{d}{dx}

Оператор — коммутатор: он не равен нулю, значит $\hat{L}$ и $\hat{M}$ не коммутируют.

Коммутатор импульса и потенциальной энергии

$\hat{L} = \hat{p}_x = -i\hbar \dfrac{d}{dx}$ , $\hat{M} = \dfrac{kx^2}{2}$ (потенциальная энергия гармонического осциллятора):

\hat{L}\hat{M} f = -i\hbar \frac{d}{dx}\left( \frac{kx^2}{2} \cdot f \right) = -i\hbar \left( \frac{2kx}{2} f + \frac{kx^2}{2} \frac{df}{dx} \right) = -i\hbar k x f - \frac{i\hbar k x^2}{2} \frac{df}{dx}

\hat{M}\hat{L} f = \frac{kx^2}{2} \cdot \left( -i\hbar \frac{df}{dx} \right) = -\frac{i\hbar k x^2}{2} \frac{df}{dx}

\hat{L}\hat{M} f - \hat{M}\hat{L} f = -i\hbar k x f \qquad \Rightarrow \qquad \left[ \hat{p}_x,\ \frac{kx^2}{2} \right] = -i\hbar k x

Построение операторов

Момент количества движения (момент импульса). Порядок построения оператора: 1. Записать классическое выражение для величины.

Точка массы $m$ движется по окружности радиуса $r$ со скоростью $v$ ; угловая скорость $\omega$ направлена вдоль оси вращения:

Вращение точки по окружности: радиус r, скорость v, угловая скорость ω вдоль оси

v = \omega r, \qquad m r^2 = I, \qquad a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{r}

M = m v r = I \omega, \qquad \vec{M} = \vec{r} \times \vec{p}

Кинетическая энергия вращения выражается через момент инерции $I$ и момент импульса $M$ :

T = \frac{m v^2}{2} = \frac{m \omega^2 r^2}{2} = \frac{I \omega^2}{2}, \qquad T = \frac{p^2}{2m}, \qquad T = \frac{I^2 \omega^2}{2I} = \frac{M^2}{2I}

Раскроем векторное произведение через определитель:

\begin{aligned} \vec{M} &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} y & z \\ p_y & p_z \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} x & z \\ p_x & p_z \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} x & y \\ p_x & p_y \end{vmatrix} = \\ &= \vec{i}\left( y p_z - z p_y \right) + \vec{j}\left( z p_x - x p_z \right) + \vec{k}\left( x p_y - y p_x \right) \end{aligned}

\vec{M} = \begin{pmatrix} y p_z - z p_y \\ z p_x - x p_z \\ x p_y - y p_x \end{pmatrix}

Мы завершили рассмотрение классического выражения. Дальше по общему правилу координаты остаются на месте, а проекции импульса заменяются операторами $\hat{p}_x = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$ и т.д.

§7. Порядок действий при квантово-химическом описании молекул

Записывается оператор Гамильтона для данной системы.
Записать уравнение Шредингера с этим оператором и решить его. (Здесь находится волновая функция и энергия.)
Если это необходимо, рассчитываются свойства системы по постулату №5.

Шредингер сделал в 4-х статьях, решил задачи.

Нормировка функций и действие операторов