Вырожденные функции и матричное представление

Задачи к статьям Операторные уравнения и Матричное представление операторов.

Сумма собственных функций

\frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta}\left( \sin\theta \frac{d}{d\theta} \right) \cos\theta = -2 \cos\theta \ \text{— собственная функция}

Операторное уравнение $\hat{L} f = \ell f$ . Будет ли линейная комбинация решением? Есть ли 2 собственные функции, будет ли сумма являться собственной функцией? Пусть $f_1$ — собственная, $f_2$ — собственная:

\hat{L}\left( f_1 + f_2 \right) = \hat{L} f_1 + \hat{L} f_2 = \ell_1 f_1 + \ell_2 f_2 \ \overset{\ell_1 = \ell_2}{=}\ \ell \left( f_1 + f_2 \right)

Сумма — собственная функция только если $\ell_1 = \ell_2$ . Такие функции называются вырожденными: если у двух волновых функций одинаковое собственное значение, то такие функции вырожденные. Любая линейная комбинация вырожденных функций — тоже собственная функция с тем же собственным значением!

Матричная математика

Функция задается столбцом коэффициентов разложения по базису $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ :

f = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \Rightarrow \qquad f = 1 \cdot \varphi_1 + 2 \cdot \varphi_2 + 3 \cdot \varphi_3

Для волновой функции $\lvert c_i \rvert \le 1$ , т.к. иначе не будет выполняться условие нормировки (здесь коэффициенты взяты просто для примера).

Действие матрицы на столбец — строка на столбец:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} \qquad \begin{aligned} 14 &= 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \\ 11 &= 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ 11 &= 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \end{aligned}

Коммутирующие матрицы

\hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \hat{B} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 7 \\ 7 & 6 & 7 \\ 7 & 7 & 6 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 7 \\ 7 & 6 & 7 \\ 7 & 7 & 6 \end{pmatrix} \ \text{— операторы коммутируют}

Достаточно изменить пару элементов — и коммутация пропадает:

\hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \hat{B} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad AB = \begin{pmatrix} 10 & 7 & 7 \\ 15 & 10 & 11 \\ 9 & 7 & 6 \end{pmatrix}

BA = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 11 \\ 7 & 6 & 9 \\ 9 & 9 & 14 \end{pmatrix}, \qquad AB - BA = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 \\ 8 & 4 & 2 \\ 0 & -2 & -8 \end{pmatrix} \ne 0

🙏 Если вам нравится сайт, подпишитесь на наш 🔗 Телеграм-канал.

Матрицы: оператор и базис

Возьмем базис из нормированных функций на отрезке $[0;\, 2\pi]$ и оператор проекции момента импульса на ось вращения:

\varphi_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{i \cdot 0 \cdot \varphi}, \qquad \varphi_1 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{i\varphi}, \qquad \varphi_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{2i\varphi}, \qquad \hat{L} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}

Матричные элементы — интегралы по области определения:

\ell_{ij} = \int \varphi_i^* \hat{L} \varphi_j \, d\tau, \qquad a_{ij} = \int\limits_0^{2\pi} \dots \, d\tau

Первая строка. Производная от константы равна нулю:

a_{00} = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{i \cdot 0 \cdot \varphi} \, d\tau = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( -i\hbar \cdot e^{i \cdot 0 \cdot \varphi} \cdot 0 \right) d\tau = 0

\begin{aligned} a_{01} &= \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{i\varphi} \, d\tau = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \left( -i\hbar \cdot \frac{i\, e^{i\varphi}}{\sqrt{2\pi}} \right) d\tau = \\ &= \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \left( -i^2 \hbar\, e^{i\varphi} \right) d\tau = \frac{\hbar}{2\pi} \cdot \frac{1}{i}\, e^{i\varphi} \Big|_0^{2\pi} = \frac{\hbar}{2\pi i} \left( e^{2\pi i} - 1 \right) = 0 \end{aligned}

Здесь использован табличный интеграл

\int k\, e^{in\varphi} \, d\varphi = k \frac{1}{in}\, e^{in\varphi}

и $e^{2\pi i} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$ . Точно так же

a_{02} = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \cdot 2\hbar\, e^{2i\varphi} \, d\varphi = \frac{\hbar}{2\pi i}\, e^{2i\varphi} \Big|_0^{2\pi} = 0

Вне диагонали всегда получается $\int e^{i(j-i)\varphi} d\varphi$ по полному периоду — ноль (базис ортогонален). На диагонали $j = i$ экспоненты сокращаются:

a_{11} = \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-i\varphi} \cdot \hbar \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{i\varphi} \, d\varphi = \frac{\hbar}{2\pi} \cdot 2\pi = \hbar, \qquad a_{22} = \frac{2\hbar}{2\pi} \cdot 2\pi = 2\hbar

\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \hbar & 0 \\ 0 & 0 & 2\hbar \end{pmatrix}

Матрица диагональная, потому что базисные функции $e^{in\varphi}$ — собственные для $\hat{L}$ : $-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \varphi} e^{in\varphi} = n\hbar\, e^{in\varphi}$ , и на диагонали стоят собственные значения $0,\ \hbar,\ 2\hbar$ .

Задание на дом

Построить матричное представление оператора в том же базисе:

\hat{L}_1 = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}, \qquad \hat{L}_2 = \varphi, \qquad \hat{L}_3 = \frac{d^2}{d\varphi^2}

И вычислить определитель разложением по первой строке:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} &= 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \\ &= 2 \cdot 5 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 3 \end{aligned}

Оператор момента импульса и собственные функции Бутадиен в потенциальном ящике и силовая постоянная связи